+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Как избавиться от дроби в уравнении. Как решать уравнения с дробями

Содержание

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

Как избавиться от дроби в уравнении. Как решать уравнения с дробями

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  2. Затем — деление и умножение;
  3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Как решать уравнения с обычными дробями. Как решать уравнения с дробями

Как избавиться от дроби в уравнении. Как решать уравнения с дробями

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения.

Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест).

Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

  • Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.

    • Иногда НОЗ – очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
    • Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x – 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
    • Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
  • Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).

    • Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
    • Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).
  • Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.

    • В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить 2 дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
    • В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x – 3 + 2x -2, или 15х = х – 5. Решите и получите: х = -5/14.
  • Дробные уравнения. ОДЗ

    Внимание! К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе 555. Для тех, кто сильно “не очень…”

    И для тех, кто “очень даже…”)

    Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения. Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения. Это одно и то же.

    Дробные уравнения

    Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе. Хотя бы в одном. Например:

    Напомню, если в знаменателях только числа, это линейные уравнения.

    Как решать дробные уравнения? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.

    Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.

    Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:

    Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения.

    Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель).

    И какое же это выражение?

    В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2). Умножаем:

    Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:

    Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2)! Так, целиком, её и пишу:

    В левой части сокращается целиком (х+2), а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:

    А это уравнение уже решит всякий! х = 2.

    Решим ещё один пример, чуть посложнее:

    Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/1, можно записать:

    И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.

    Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2). А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:

    Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.

    С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!

    А вот теперь уже раскрываем скобки:

    Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:

    Но до того мы другие задачи научимся решать. На проценты. Те ещё грабли, между прочим!

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Инструкция

    Пожалуй, самый очевидный момент здесь – это, конечно, . Числовые дроби не представляют никакой опасности (дробные уравнения, где во всех знаменателях стоят только числа, вообще будут линейными), а вот если в знаменателе стоит переменная, то это обязательно нужно учитывать и прописывать.

    Во-первых, это , что х, обращающее в 0 знаменатель, быть не может, и вообще нужно отдельно прописать тот факт, что икс не может равняться этому числу. Даже если у вас получится, что при подстановке в числитель всё прекрасно сходится и удовлетворяет условиям.

    Во-вторых, мы не можем умножать или обе части уравнения на , равное нулю.

    После этого такого уравнения сводится к переносу всех его членов в левую часть так, чтобы в правой остался 0.

    Нужно привести все члены к общему знаменателю, домножив, где нужно, числители на недостающие выражения.
    Далее решаем обычное уравнение, написанное в числителе. Можем выносить общие множители за скобки, применять сокращённого умножения, приводить подобные, вычислять корни квадратного уравнения через дискриминант и т.д.

    В итоге должно получиться разложение на множители в виде произведения скобок (х-(i-ый корень)). Также сюда могут входить многочлены, не имеющие корней, например, квадратный трёхчлен с дискриминантом, меньшим нуля (если, конечно, в задаче только действительные корни, как чаще всего и бывает).

    Обязательно нужно разложить на множители и знаменатель с нахождения там скобок, уже содержащихся в числителе. Если в знаменателе стоят выражения типа (х-(число)), то лучше при приведении к общему знаменателю стоящие в нём скобки не перемножать “в лоб”, а оставить в виде произведения исходных простых выражений.

    Одинаковые скобки в числителе и знаменателе можно сократить, прописав предварительно, как говорилось выше, условия на х.

    Ответ записывается в фигурных скобках, как множество значений х, либо просто перечислением: x1=…, х2=… и т.д.

    Источники:

    • Дробные рациональные уравнения

    То, без чего нельзя обойтись в физике, математике, химии. Как минимум. Учимся основам их решения.

    Инструкция

    В самой общей и простой классификации можно разделить по количеству переменных, в них содержащихся, и по степеням, в которых эти переменные стоят.

    Решить уравнение все его корни либо доказать, что их нет.

    Любое уравнений не более P корней, где P – максимальная данного уравнения.

    Но часть этих корней может и совпадать. Так, например, уравнение х2+2*x+1=0, где – значок возведения в степень, сворачивается в квадрат выражения (х+1), то есть в произведение двух одинаковых скобок, каждая из которых даёт х=-1 в качестве решения.

    Если в уравнении всего одна неизвестная, это значит, что вам удастся в явном виде найти его корни (действительные или комплексные).

    Для этого скорей всего понадобятся, различные преобразования: сокращённого умножения, вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения, перенос слагаемых из одной части в другую, приведение к общему знаменателю, умножение обоих частей уравнения на одно и тоже выражение, в квадрат и прочее.

    Преобразования, не влияющие на корни уравнения, тождественными. Они используются для упрощения процесса решения уравнения.

    Также вы можете вместо традиционного аналитического воспользоваться графическим методом и записать данное уравнение в виде , проведя затем её исследование.

    Если в уравнении неизвестных больше одной, то вам удастся лишь выразить одну из них через другую, показав тем самым набор решений. Таковы, например, уравнения с параметрами, в которых присутствует неизвестная x и параметр а. Решить параметрическое уравнение – значит для всех а выразить х через а, то есть рассмотреть все возможные случаи.

    Если в уравнении стоят производные или дифференциалы неизвестных (смотри картинку), поздравляю, это дифференциальное уравнение, и тут вам не обойтись без высшей математики).

    Источники:

    • Тождественные преобразования

    Чтобы решить задачу с дробями, нужно научиться делать с ними арифметические действия. Они могут быть десятичные, но чаще всего используются натуральные дроби с числителем и знаменателем. Только после этого можно переходить на решения математических задач с дробными величинами.

    Вам понадобится

    • – калькулятор;
    • – знания свойств дробей;
    • – умение производить действия с дробями.

    Инструкция

    Дробью называют запись деления одного числа на другое. Зачастую это сделать нацело нельзя, поэтому и оставляют это действие «неоконченным.

    Число, которое является делимым (оно стоит над или перед знаком дроби), называются числителем, а второе число (под знаком дроби или после него) – знаменателем.

    Если числитель больше знаменателя, дробь называется неправильной, и из нее можно выделить целую часть. Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильной, и ее целая часть равна 0.

    Задачи делятся на несколько видов. Определите, к какому из них задача. Простейший вариант – нахождение доли числа, выраженной дробью.

    Для решения этой задачи достаточно умножить это число на дробь. Например, на завезли 8 т картошки. В первую неделю было продано 3/4 от ее общего количества.

    Сколько картошки осталось? Чтобы решить эту задачу, число 8 умножьте на 3/4. Получится 8∙3/4=6 т.

    Если нужно найти число по его части, умножьте известную часть числа на дробь, обратную той, которая показывает какова доля данной части в числе. Например, 8 из составляют 1/3 от общего количества учеников.

    Сколько в ? Поскольку 8 человек это часть, которая представляет 1/3 от всего количества, то найдите обратную дробь, которая равна 3/1 или просто 3. Затем для получения количества учеников в классе 8∙3=24 ученика.

    Когда нужно найти какую часть числа составляет одно число от другого, поделите число, которое представляет часть на то, которое является целым. К примеру, если расстояние 300 км, а автомобиль проехал 200 км, какую часть этот составит от всего пути? Поделите часть пути 200 на полный путь 300, после сокращения дроби получите результат. 200/300=2/3.

    Чтобы найти часть неизвестную долю от числа, когда есть известная, возьмите целое число за условную единицу, и отнимите от нее известную долю. Например, если уже прошло 4/7 части урока, еще осталось? Возьмите весь урок как условную единицу и отнимите от нее 4/7. Получите 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

    Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. урок. Алгебра 8 Класс

    Как избавиться от дроби в уравнении. Как решать уравнения с дробями

    На этом уроке мы потренируемся решать квадратные и дробно-рациональные уравнения, отработаем различные методы их решения.

    Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения.

    Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда.

    На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.

    Задание 1. Решить уравнение:

    Решение.

    Воспользуемся свойством степеней  и перепишем уравнение в виде:

    Обратим внимание, что неизвестная величина  присутствует в уравнении только в составе «конструкции» . В таком случае применяют метод замены переменной.

    Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:

    Заменяя  на , получаем уравнение:

    Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.

    Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта

    Имеем следующее квадратное уравнение:

    Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения:

    Тогда:

    Найдем корни квадратного уравнения:

    Ответ: .

    Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:

    Решаем уравнение, получаем корни:

    Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернемся к замене:

    Тогда:

    Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение  имеет два решения:

    Второе уравнение не имеет действительных корней.

    Ответ: .

    В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только -я и -я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:

    Теперь перейдем к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».

    При решении дробно-рациональных уравнений важно:

    1. в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;
    2. после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.

    Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.

    Задание 2.Решить уравнение:

    Решение.

    Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ:

    Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:

    Получили линейное уравнение, решением которого является . Это решение входит в ОДЗ, ведь .

    Ответ: .

    Задание 3.Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на . Мы это можем сделать, поскольку , тогда:

    Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в одну сторону, приведем подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:

    Найдем корни этого уравнения:

    Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому  не является решением уравнения.

    Ответ: .

    Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.

    Задание 4. Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    Решим каждое из этих неравенств:

    Можем объединить эти неравенства в одно:

    Перенесем все слагаемые в одну сторону:

    Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:

    Приведем все дроби к общему знаменателю :

    Тогда:

    Дробь равна , если ее числитель равен :

    Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

    Найдем корни квадратного уравнения:

    Корень  не входит в ОДЗ.

    Ответ:

    Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями.

    Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

    Задание 5. Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    Решим эти неравенства:

    Обратим внимание, что неизвестная  присутствует в уравнении в похожих конструкциях , которые являются взимнообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:

    Тогда:

    Исходное уравнение будет иметь вид:

    Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на , при этом , поскольку :

    Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:

    Вернемся к замене:

    Решаем первое уравнение:

    Решаем второе уравнение:

    Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

    Ответ:.

    Задание 6. Решить уравнение:

    Решение.

    Выпишем ОДЗ:

    В подобных уравнениях стандартной является замена:

    Чтобы выразить  через , произведем следующие действия:

    После замены исходное уравнение будет иметь вид:

    Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

    Найдем корни уравнения:

    Вернемся к замене:

    Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на  и получить квадратные уравнения:

    Первое уравнение имеет решения:

    Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.

    Ответ: .

    Теперь перейдем к решению иррациональных уравнений. Так называются уравнения, которые содержат операцию извлечения корня из переменной.

    Задание 7. Решить уравнение:

    Решение.

    Как мы знаем, выражение  имеет смысл только для значения . Поэтому ОДЗ для данного уравнения будет следующей:

    Чтобы привести иррациональное уравнение к линейному или квадратному, нужно избавиться от иррациональности. В данном случае – избавиться от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством корня:

    Возведем обе части уравнения в квадрат:

    Получили линейное уравнение, корнем которого является:

    Полученное значение входит в ОДЗ:

    При решении уравнения мы возвели обе части уравнения в квадрат, при этом могли возникнуть посторонние корни, т. е. те, которые не являются решением исходного уравнения.

    Посторонние корни

    Операция возведения в квадрат обеих частей равенства не является равносильным преобразованием. При применении этой операции можно получить из неправильного равенства правильное. Например, равенство  очевидно неправильное. Но при возведении в квадрат получим правильное:

    При этом из правильного равенства мы не получим неправильное, ведь если числа равны, то их квадраты также равны.

    Поэтому любой корень исходного уравнения является корнем уравнения, полученного после возведения в квадрат обеих частей. Но не все корни полученного уравнения являются корнями исходного. Могут возникнуть посторонние корни.

    Чтобы исключить их, проще всего выполнить проверку, подставив полученные значения в исходное уравнение.

    Выполним проверку. Подставим полученный корень в исходное уравнение:

    Мы получили правильное равенство, значит,  является решением уравнения.

    Ответ: .

    Задание 8. Решить уравнение:

    Решение.

    Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому ОДЗ будет следующей:

    Возведем обе части уравнения в квадрат:

    После преобразования получим квадратное уравнение:

    Найдем корни уравнения:

    Проверим, входят ли корни в ОДЗ.

    :

    Неравенство неверное, значит, корень  не входит в ОДЗ и не является решением исходного уравнения.

    :

    Корень входит в ОДЗ.

    Теперь выполним проверку, подставив  в исходное уравнение:

    Получили правильное равенство, следовательно, исходное уравнение имеет один корень .

    Ответ:.

    Заключение

    Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми приемами, которые позволяют свести уравнения высших порядков, дробно-рациональные и иррациональные уравнения к квадратным и линейным уравнениям.

    Список литературы

    1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
    2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
    3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    Домашнее задание

    1. Решить биквадратное уравнение:

    2. Решить дробно-рациональное уравнение:

    3. Решить иррациональное уравнение:

    Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

    Как избавиться от дроби в уравнении. Как решать уравнения с дробями

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

    Определение рационального уравнения

    Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

    Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».

    А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

    Что же получается?

    А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

    Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

    Как думаешь, какое это уравнение?

    Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

    А это?

    Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).

    Что скажешь насчет этого?

    А это – рациональное.

    А здесь?

    Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

    А вот это с отрицательным показателем степени?

    Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  

    Ну и вот это?

    Тоже рациональное, т.к.  

    И последней с дробной степенью?

    А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  

    Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.

    Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

    Целые рациональные уравнения

    Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

    Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

    Вот примеры:

    Умеешь такие решать? 

    Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

    Пример 1

    Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

     ;

    Какой наименьший общий знаменатель будет?

    Правильно  !

    Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на  , а второго на  ,

    А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

      ,

    А теперь делим обе части на  :

    Тут все просто?

    Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  

    Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит.

    Дробно рациональные уравнения

    А вот еще одно уравнение  .

    Это уравнение целое?

    НЕТ!!!

    Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое.

    Тогда какое же оно?

    Это дробно рациональное уравнение.

    Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

    На первый взгляд особой разницы не видно…

    Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

    Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  .

    Важный момент!!!

    В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных. 

    Но тут-то наименьший общий знаменатель  .

    А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

    Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

    Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

     .

    Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

     .

    Раскроем скобки и приведем подобные члены:

    Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

    Выносим за скобку общий множитель:  

    У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  .

    Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.

    Сначала подставим  , получается   

    Нет претензий?

    С ним все нормально.

    А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

    Но ведь это же будет ноль!

    На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

    Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») – 

    Области Допустимых Значений

    Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.

    Найти какие значения может принимать икс.

    Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

    Просто запомни, что на ноль делить нельзя!

    И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

    ОДЗ:   и     и  .

    Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

    И так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ.

    Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

    В ответ стоит написать только один корень,  .

    Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе. 

    Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

    Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

    ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

    Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

    1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
    2. Определить ОДЗ;
    3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
    4. Решить получившееся целое уравнение;
    5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

    Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

    РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

    Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

    Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

    Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

    Например:

    Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.

    В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: 

    Произведение = ” ” или Дробь = ” “, например:

     .

    Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

    Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: ” ” на ” ” и наоборот).

    Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

    Пример 5

    Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

    Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

    Пример 6

    Перегруппируем:

    Раскроем скобки в каждой группе:

    Сделаем замену:

    Тогда:

      .

    Решив квадратное уравнение, получим:

    Обратная замена:

    Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

    Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

    Пример 8

    2.  

    Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

    Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

    Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

     .

    Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  .

    Подбором устанавливаем, что это числа   и  .

    Тогда:

     Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :

     При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.

    Если  , получим деление на  .

    Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

    Ответ:  .

    Пример 9

    3.  

     Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:

     Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

    Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:

     Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:

    Ответ:  .

    Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

    Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

    Алгоритм решения рациональных уравнений:

    1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
    2. Определить ОДЗ;
    3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
    4. Решить получившееся целое уравнение;
    5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

    Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

    Система для решения дробно рациональных уравнений: 

     .

    ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

    Стать учеником YouClever,

    Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

    А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

    Как решать дроби неизвестным.

    Как избавиться от дроби в уравнении. Как решать уравнения с дробями

    Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

    В 5 классе школьники по математике изучают довольно много новых тем, одной из которых будет дробные уравнения. Для многих это довольно сложная тема, в которой родители должны помочь разобраться своим детям, а если родители забыли математику, то они всегда могут воспользоваться онлайн программами, решающими уравнения.

    Так на примере вы сможете быстро понять алгоритм решения уравнений с дробями и помочь своему ребенку.

    Ниже для наглядности мы решим несложное дробное линейное уравнение следующего вида:

    \[\frac{x-2}{3} – \frac{3x}{2}=5\]

    Чтобы решить данного рода уравнения необходимо определить НОЗ и умножить на него левую и правую часть уравнения:

    \[\frac {x-2}{3} – \frac{3x}{2}=5\]

    Благодаря этому мы получим простое линейное уравнение, поскольку общий знаменатель, а также знаменатель каждого дробного члена сократится:

    Сделаем перенос членов с неизвестной в левую сторону:

    Выполним деление левой и правой части на -7:

    Из полученного результата можно выделить целую часть, что и будет конечным результатом решения данного дробного уравнения:

    Где можно решить уравнение с дробями онлайн?

    Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе.

    Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе http://.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

    Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

    В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].

  • Корень уравнения – это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
  • Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
  • Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

    Информация для родителей

    Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».

    Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

    Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.

    Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».

    Решение уравнений на сложение и вычитание

    Как найти неизвестное
    слагаемое

    Как найти неизвестное
    уменьшаемое

    Как найти неизвестное
    вычитаемое

    Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

    Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

    Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

    x + 9 = 15x = 15 − 9x = 6

    Проверка

    x − 14 = 2x = 14 + 2x = 16

    Проверка

    16 − 2 = 14
    14 = 14

    5 − x = 3x = 5 − 3x = 2

    Проверка

    Решение уравнений на умножение и деление

    Как найти неизвестный
    множитель

    Как найти неизвестное
    делимое

    Как найти неизвестный
    делитель

    Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

    Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

    Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

    y · 4 = 12y = 12: 4y = 3

    Проверка

    y: 7 = 2y = 2 · 7y = 14

    Проверка

    8: y = 4y = 8: 4y = 2

    Проверка

    Уравнение – это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения – это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:

    Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:

    Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».

    Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

    Порядок решения линейных уравнений

    Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).

    Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа – в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,

    Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b.

    Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a),

    Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

    Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

    Особые случаи решения уравнений

    1. Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

    27 (x – 3) = 0
    27 не равно 0, значит x – 3 = 0

    У второго примера два решения уравнения, так как
    это уравнение второй степени:

    Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:

    Найти общий знаменатель;

    Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

    Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);

    Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые – в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;

    Привести подобные члены;

    Основные свойства уравнений

    В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

    Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

    Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

    В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

    Как решить уравнение с неизвестным в дроби

    Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное оказывается в числителе одной или нескольких дробей. Как, например, в уравнении ниже.

    В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами.

    I способ решения
    Сведение уравнения к пропорции

    При решении уравнений способом пропорции необходимо выполнить следующие действия:

  • привести все дроби к общему знаменателю и сложить их как алгебраические дроби (в левой и правой части должно остаться только по одной дроби);
  • полученное уравнение решить по правилу пропорции.
  • Итак, вернемся к нашему уравнению. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны никакие преобразования.

    Будем работать с правой частью уравнения. Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь. Для этого вспомним правила сложения числа с алгебраической дробью.

    Теперь используем правило пропорции и решим уравнение до конца.

    II способ решения
    Сведение к линейному уравнению без дробей

    Рассмотрим уравнение выше еще раз и решим его другим способом.

    Мы видим, что в уравнении присутствуют две дроби «

    Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями

    Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
    Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

    Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

    Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

    Например, как решить дробное уравнение: x/5+4=9 Умножаем обе части на 5. Получаем:

    х+20=45

    Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

    Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

    Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

    • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
    • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

    Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

    Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

    Например, требуется решить дробное уравнение:

    Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

    Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

    И решаем обычное уравнение

    5x – 2х = 1 3x = 1

    х = 1/3

    Решим уравнение посложнее:

    Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

    Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

    Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

    Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

    Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

    Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

    х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

    Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями

    Поделиться:
    Нет комментариев

      Добавить комментарий

      Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.