+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Как найти наименьшее общее кратное? Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Как найти наименьшее общее кратное

Как найти наименьшее общее кратное? Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Поиск наименьшего общего кратного — задача, с которой все мы сталкиваемся при необходимости найти общий знаменатель для дроби. Ниже для удобства обозначения мы будем использовать не только термин «наименьшее общее кратное», но и его сокращение — НОК.

Давайте рассмотрим подробнее, что значит НОК.

Определение 1

Наименьшее общее кратное нескольких чисел $a, b, c, d$ — это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на все эти числа.

Нахождение НОК

Существует несколько различных приёмов для определения НОК:

  • Через связь наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя;
  • Через разложение чисел, для которых ищется НОК, на простые множители.

Как искать НОК через наибольший общий делитель

Для начала вспомним, что такое наибольший общий делитель.

Замечание 1

Наибольшим общим делителем называют наибольшее число, в результате деления на которое двух или более чисел не остаётся остатка.

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо следующее тождество:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b)=a \cdot b$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Способы нахождения НОД для определения НОК:

  1. Бинарный метод.
  2. Алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида для поиска НОК рассмотрен подробнее в другой статье на нашем сайте.

Также НОД можно вычислить через каноническое разложение чисел на простые множители. Для этого числа, для которых ищется НОД, сначала раскладывают на простые множители.

После этого отдельной строкой выписывают все простые множители, входящие в каждое разложение хотя бы один раз.

После к простым множителям подписывают их наименьшую степень и перемножают. Полученное произведение будет являться наибольшим общим делителем данных чисел.

Если же НОД уже известен, то для определения НОК через этот метод можно воспользоваться следующей формулой:

$НОК(a,b)=\frac{|a \cdot b|}{НОД(a, b)}$

Здесь $НОД$ — наибольший общий делитель для чисел $a$ и $b$.

Как найти НОК через разложение чисел

Определение 2

Представление числа через произведение простых чисел, возведённых в разные степени, называется разложением числа на простые множители.

Из этого определения можно сделать следующий вывод: любое натуральное число кроме единицы либо является простым, либо его можно разложить до простых множителей, причём единственным способом. Числа, которые можно разложить на простые множители, называются составными.

Для осуществления разложения числа на множители используют признаки делимости чисел.

Существуют пары чисел, наибольший общий делитель которых равен единице. Такие числа называются взаимно простыми.

При поиске НОК для взаимно простых чисел их разложения не содержат одних и тех же простых множителей.

Существует ещё одна закономерность для взаимно простых чисел: если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.

Наиболее частым является каноническое разложение, при его использовании числа раскладываются на множители в порядке возрастания.

Теперь, узнав основные используемые понятия, можно перейти к алгоритму определения НОК данным методом.

Алгоритм определения НОК

  1. Разложить числа, для которых нужно найти наименьшее общее кратное на простые множители.
  2. В отдельную строчку выписать все простые числа, которые входят в каждое из разложений.
  3. Для каждого из простых чисел выписать максимальную степень, с которой оно встречается в разложении.
  4. Записать произведение всех выписанных простых чисел в максимальных встреченных степенях.

Как найти НОК трех чисел и более

Для того чтобы найти НОК более чем для двух чисел, сначала необходимо выбрать 2 любых числа из необходимых и найти НОК для них, после этого нужно взять следующее число и найти НОК для него и уже посчитанного ранее наименьшего общего кратного.

Эту процедуру необходимо выполнять до тех пор, пока не закончатся числа, для которых необходимо найти наименьшее общее кратное.

Другим способом найти НОК сразу для нескольких чисел является выписывание в строку всех простых множителей, содержащихся в разложениях, с их наибольшей степенью и затем их последующее перемножение.

Пример 1

Приведите дроби к общему знаменателю:

  1. $\frac{25}{104}$ и $\frac{37}{520}$.
  2. $\frac{7}{132}$ и $\frac{9}{154}$
  3. $\frac{3}{4};\frac{13}{20};\frac{41}{60}; \frac{17}{75};\frac{11}{25}$.

Решение:

  1. Чтобы привести дроби $\frac{25}{104}$ и $\frac{37}{520}$ к общему знаменателю, для начала необходимо найти общее кратное для чисел $104$ и $520$, стоящих под чертой дроби. Для этого разложим их на множители:

    $104=1 \cdot 23 \cdot 13$;

    $520=1 \cdot 23 \cdot 5 \cdot 13$.

    Теперь вычислим наименьшее общее кратное. Чтобы это сделать, выпишем каждый простой множитель, встречающийся в разложениях обоих чисел хотя бы раз с его наибольшей степенью, имеем:

    $НОК= \cdot 23 \cdot 5 \cdot 13=520$.

    Теперь найдём множители для каждой из дробей, на которые их необходимо для множить. Для дроби $\frac{25}{104}$ этот множитель равен $520:104=5$, для второй дроби $\frac{37}{520}$ он равен $520:520=1$. Следовательно, первую дробь нужно домножить на $\frac{5}{5}$, а вторую на $\frac{1}{1}$:

    $\frac{25 \cdot 5}{104 \cdot 5}$ и $\frac{37 \cdot 1}{520 \cdot 1}$;

    $\frac{125}{520}$ и $\frac{37}{520}$.

  2. Найдём наименьшее кратное для дробей $\frac{7}{132}$ и $\frac{9}{154}$. Для этого вновь разложим знаменатели используя каноническое разложение:

    $132=1 \cdot 22 \cdot 31 \cdot 111$;

    $154= 1 \cdot 2 \cdot 71 \cdot 111$.

    Найдём НОК:

    $НОК=22 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 924$.

    Множитель, на который нужно умножить числитель и знаменатель первой дроби для приведения к общему знаменателю — $7$, а вторую нужно домножить на $6$.

    Получаем:

    $\frac{7 \cdot 7}{132 \cdot 7}$ и $\frac{9 \cdot 6}{154 \cdot 6}$;

    $\frac{49}{924}$ и $\frac{36}{924}$.

  3. Сначала разложим на простые множители знаменатели дробей

    $\frac{3}{4};\frac{13}{20};\frac{41}{60}; \frac{17}{75};\frac{11}{25}$:

    $4=1 \cdot 22$;

    $20=1 \cdot 22 5$;

    $60=1 \cdot 22 \cdot 3 \cdot 5$;

    $75= 1 \cdot 3 \cdot 52$;

    $25=1 \cdot 52$.

    Выпишем все множители при старших степенях для вычисления НОК:

    $НОК=22 \cdot 3 \cdot 52=300$.

    Множители для каждой дроби соответственно $75;15;5;4;12$.

    В результате приведения к общему знаменателю получим:

    $\frac{225}{300}; \frac{195}{300}; \frac{195}{300}; \frac{205}{300}; \frac{68}{300}; \frac{132}{300}$.

Способы нахождения наименьшего общего кратного, нок – это, и все пояснения

Как найти наименьшее общее кратное? Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК – это одно из основных, особенно часто применяемое в работе с дробями. Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

Определение

Общее кратное – число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

НОК – это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. Большие числа принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК – обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 22 * 3 * 52; 1260 = 22 * 32 *5 *7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений.

НОК – это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре.

Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

1) 300 = 22 * 3 * 52; 1260 = 22 * 32 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

Проверка:

6300 / 300 = 21 – верно;

6300 / 1260 = 5 – верно.

Правильность полученного результата определяется посредством проверки – деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

Что значит НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта – не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы.

Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве – трем, пяти и так далее.

Чем больше чисел – тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 52 *5 * 2 = 53 * 2 – на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 23 *52;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 53 *22;

Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, – для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

НОК = 3000

Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

Проверка:

1) 3000 / 250 = 12 – верно;

2) 3000 / 600 = 5 – верно;

3) 3000 / 1500 = 2 – верно.

Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

Еще один способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами.

Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение.

Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

Задача.

Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК.

Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах.

Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

Наименьшее общее кратное

Как найти наименьшее общее кратное? Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Пример. Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д. Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д. Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

Общее кратное чисел – это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

Решение:

2 · 3 · 4 · 6 = 144

Число 144 – общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел – это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

https://www.youtube.com/watch?v=Lkw7OMRlsLk

Наименьшее общее кратное записывается так: НОК (ab, …). Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

НОК (3, 4, 9) = 36

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11

54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

2 · 33 · 11 = 594

Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
49 = 7 · 7 = 72

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

22 · 3 · 72 = 12 · 49 = 980

Ответ: НОК (12, 49) = 980.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение:

Так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

5 · 7 · 13 = 455

Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
4 = 2 · 2 = 22

Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

23 · 3 = 24

Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение:

Сначала находим их наибольший общий делитель:

НОД (99, 54) = 9.

Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

  1. Находят НОК любых двух из данных чисел.
  2. Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
  3. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение:

Сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

НОД (12, 8) = 4.

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24

Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

НОД (24, 9) = 3.

Вычисляем НОК по формуле:

НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72

Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.

Новое на сайте|contact@izamorfix.ru
2018 − 2020©izamorfix.ru

Нод и нок чисел с решением | наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Как найти наименьшее общее кратное? Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 12055

Как пользоваться калькулятором

  • Введите числа в поле для ввода
  • В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
  • нажмите кнопку “Найти НОД и НОК”

Как вводить числа

  • Числа вводятся через пробел, точку или запятую
  • Длина вводимых чисел не ограничена, так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК.

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.

Пример: определить, делится ли на 2 число 34938.

Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.

Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.

Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.

Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):

  1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
  3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 – это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

  1. Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
  2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
  3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

  1. Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Найдём обшие множители: 1, 2 и 2.
  3. Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
  4. Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
  5. Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, НОД = 1·2·2·3 = 12.
  6. НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.