+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Как решать простые дробные уравнения. Уравнения с дробями правила решения

Содержание

Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

Как решать простые дробные уравнения. Уравнения с дробями правила решения

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Определение рационального уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».

А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

Что же получается?

А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

Как думаешь, какое это уравнение?

Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

А это?

Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).

Что скажешь насчет этого?

А это – рациональное.

А здесь?

Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

А вот это с отрицательным показателем степени?

Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  

Ну и вот это?

Тоже рациональное, т.к.  

И последней с дробной степенью?

А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  

Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

Вот примеры:

Умеешь такие решать? 

Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

Пример 1

Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

 ;

Какой наименьший общий знаменатель будет?

Правильно  !

Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на  , а второго на  ,

А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

  ,

А теперь делим обе части на  :

Тут все просто?

Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  

Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит.

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение  .

Это уравнение целое?

НЕТ!!!

Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое.

Тогда какое же оно?

Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно…

Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  .

Важный момент!!!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных. 

Но тут-то наименьший общий знаменатель  .

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

 .

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

 .

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель:  

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  .

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.

Сначала подставим  , получается   

Нет претензий?

С ним все нормально.

А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») – 

Области Допустимых Значений

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.

Найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя!

И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ:   и     и  .

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

И так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень,  .

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе. 

Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: 

Произведение = ” ” или Дробь = ” “, например:

 .

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: ” ” на ” ” и наоборот).

Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Пример 5

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Пример 6

Перегруппируем:

Раскроем скобки в каждой группе:

Сделаем замену:

Тогда:

  .

Решив квадратное уравнение, получим:

Обратная замена:

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

Пример 8

2.  

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

 .

Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  .

Подбором устанавливаем, что это числа   и  .

Тогда:

 Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :

 При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.

Если  , получим деление на  .

Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

Ответ:  .

Пример 9

3.  

 Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:

 Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:

 Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:

Ответ:  .

Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

  1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

Система для решения дробно рациональных уравнений: 

 .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

Как решать уравнения с дробями – Ответы на все вопросы

Как решать простые дробные уравнения. Уравнения с дробями правила решения

06.11.2019

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

  • В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.
  • Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
  • Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
  • Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть
  • Ответ: -4 6/7.
  • Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

  1. Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».
  2. После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.
  3. Ответ: -34.
  4. Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:
  5. Раскрываем скобки и упрощаем
  6. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
  7. Ответ: -5.
  8. Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):
  9. при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.
  10. Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:
  11. Ответ: 0,1875.

Источник:

Решение уравнений с дробями 5 класс

  • Обыкновенные дроби
  • часть 3
  • 5 класс
  1. – Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
  2. – Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
  3. – Решение уравнений.
  4. – Решение задач.
  • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
  • Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
  • 3
  • 3+1
  • 1
  • 4
  • =
  • +
  • =
  • 8
  • 8
  • 8
  • 8
  • 1
  • 8
  • 3
  • 3+5
  • 5
  • =
  • =
  • +
  • =
  • 8
  • 8
  • 8
  • 8
  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

  2. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

  3. 3
  4. 3-1
  5. 1
  6. 2
  7. =
  8. =
  9. 8
  10. 8
  11. 8
  12. 8
  13. 0
  14. 3
  15. 3
  16. =
  17. 8
  18. 8
  • Решение уравнений.
  • При решении уравнений необходимо пользоваться правилами решения уравнений, свойствами сложения и вычитания.
  • Решение уравнений с применением свойств.
  • Решение уравнений с использованием правил.
  1. Решите уравнение.
  2. Подсказка 1
  3. Выражение в левой части уравнения является суммой.

  4. 51
  5. 32
  6. =
  7. ;
  8. х
  9. +
  10. 85
  11. 85
  12. 32
  13. 51
  14. Подсказка 2
  15. слагаемое + слагаемое = сумма.
  16. х
  17. =
  18. ;
  19. 85
  20. 85
  21. 19
  22. х
  23. =
  24. .

  25. 85
  26. Подсказка 3
  27. Чтобы найди неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
  28. 19
  29. Ответ:
  30. 85
  • Решите уравнение.
  • Выражение в левой части уравнения является разностью.
  • Подсказка 1
  • 12
  • 78
  • =
  • ;
  • у
  • 90
  • 90
  • 12
  • 78
  • Подсказка 2
  • уменьшаемое – вычитаемое = разность
  • у
  • =
  • ;
  • 90
  • 90
  • 66
  • у
  • =
  • .
  • 90
  • Чтобы найди неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
  • Подсказка 3
  • 66
  • Ответ:
  • 90
  1. Решите уравнение.
  2. Выражение в левой части уравнения является разностью.

  3. Подсказка 1
  4. 8
  5. 11
  6. а
  7. =
  8. ;
  9. 25
  10. 25
  11. 8
  12. 11
  13. Подсказка 2
  14. уменьшаемое – вычитаемое = разность
  15. а
  16. =
  17. +
  18. ;
  19. 25
  20. 25
  21. 19
  22. а
  23. =
  24. .

  25. Чтобы найди неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
  26. Подсказка 3
  27. 25
  28. 19
  29. Ответ:
  30. 25
  • Решите уравнение.
  • (
  • 7
  • 3
  • 18
  • ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.
  • +
  • х
  • +
  • =
  • (
  • ;
  • 19
  • 19
  • 19
  • В левой части уравнения выражение является суммой.
  • Подсказка 1
  • 3
  • 18
  • 7
  • +
  • =
  • х
  • ;
  • 19
  • 19
  • 19
  • 3
  • 11
  • =
  • х
  • +
  • Подсказка 2
  • ;
  • Неизвестное содержится в слагаемом.
  • 19
  • 19
  • 11
  • 3
  • х
  • =
  • ;
  • 19
  • 19
  • 8
  • 8
  • х
  • .
  • =
  • Ответ:
  • 19
  • 19
  1. Решите уравнение.
  2. (
  3. 5
  4. 37
  5. 17
  6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.

  7. у
  8. =
  9. (
  10. +
  11. ;
  12. 44
  13. 44
  14. 44
  15. В левой части уравнения выражение является разностью.

  16. Подсказка 1
  17. 5
  18. 37
  19. 17
  20. =
  21. у
  22. +
  23. ;
  24. 44
  25. 44
  26. 44
  27. 5
  28. 20
  29. =
  30. у
  31. +
  32. Подсказка 2
  33. ;
  34. Неизвестное содержится в вычитаемом.

  35. 44
  36. 44
  37. 20
  38. 5
  39. у
  40. =
  41. ;
  42. 44
  43. 44
  44. 15
  45. 15
  46. у
  47. .
  48. =
  49. Ответ:
  50. 44
  51. 44
  • Решите уравнение.
  • 18
  • 8
  • 21
  • ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.
  • b
  • +
  • =
  • ;
  • 73
  • 73
  • 73
  • Подсказка 1
  • В левой части уравнения выражение является разностью.
  • 18
  • 8
  • 21
  • b
  • +
  • ;
  • =
  • +
  • 73
  • 73
  • 73
  • 29
  • 18
  • =
  • +
  • Подсказка 2
  • Неизвестное содержится в уменьшаемом.
  • b
  • ;
  • 73
  • 73
  • 29
  • 18
  • =
  • b
  • ;
  • 73
  • 73
  • 11
  • 11
  • b
  • Ответ:
  • .
  • =
  • 73
  • 73
  1. Решите уравнение.
  2. (
  3. 7
  4. 3
  5. 18
  6. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
  7. +
  8. х
  9. +
  10. =
  11. (
  12. ;
  13. 19
  14. 19
  15. 19
  16. В левой части уравнения можно применить сочетательное свойство сложения .
  17. Подсказка 1
  18. 7
  19. 3
  20. 18
  21. +
  22. ;
  23. +
  24. =
  25. х
  26. 19
  27. 19
  28. 19
  29. 10
  30. 18
  31. =
  32. х
  33. +
  34. Подсказка 2
  35. ;
  36. Чтобы к числу прибавить сумму , можно к этому числу прибавить сначала одно слагаемое, а потом другое.
  37. 19
  38. 19
  39. 18
  40. 10
  41. х
  42. =
  43. ;
  44. 19
  45. 19
  46. 8
  47. 8
  48. х
  49. .
  50. =
  51. Ответ:
  52. 19
  53. 19
  • Решите уравнение.
  • (
  • 5
  • 37
  • 17
  • ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
  • у
  • =
  • (
  • +
  • ;
  • 44
  • 44
  • 44

В левой части уравнения можно применить свойство вычитания суммы из числа. .

  1. Подсказка 1
  2. 37
  3. 5
  4. 17
  5. ;
  6. =
  7. у
  8. 44
  9. 44
  10. 44
  11. 32
  12. 17
  13. =
  14. у
  15. Подсказка 2
  16. ;
  17. Чтобы из числа вычесть сумму, можно вычесть сначала одно слагаемое, а потом другое.
  18. 44
  19. 44
  20. 32
  21. 17
  22. у
  23. =
  24. ;
  25. 44
  26. 44
  27. 15
  28. 15
  29. у
  30. .
  31. =
  32. Ответ:
  33. 44
  34. 44
  • Решите уравнение.
  • 8
  • 18
  • 21
  • ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
  • +
  • b
  • =
  • ;
  • 73
  • 73
  • 73
  • Подсказка 1
  • В левой части уравнения можно применить свойство вычитания числа из суммы.
  • 18
  • 21
  • 8
  • ;
  • +
  • =
  • b
  • 73
  • 73
  • 73
  • 10
  • 21
  • =
  • b
  • +
  • Подсказка 2
  • Чтобы вычесть число из суммы, можно сначала вычесть это число из одного слагаемого, а потом прибавить другое.
  • ;
  • 73
  • 73
  • 21
  • 10
  • =
  • b
  • ;
  • 73
  • 73
  • 11
  • 11
  • b
  • .
  • =
  • Ответ:
  • 73
  • 73

Решение задач.

2

В первый день Саша прочитал книги, а во второй день – книги. Сколько страниц прочитал Саша за два дня, если в книге 144 страницы?

  1. 9
  2. 4
  3. 9
  4. 144 стр.
  5. 4
  6. 2
  7. 9
  8. 9
  9. 2
  10. 4
  11. 6
  12. 1) + = (книги) – прочитал Саша за 2 дня.
  13. 9
  14. 9
  15. 9
  16. 2) 144 : 9 ∙ 6 = 96 (стр.)
  17. Ответ: За 2 дня Саша прочитал 96 страниц.

Решение задач.

5

В первый день Маша прочитала книги, а во второй день – книги. Сколько страниц в книге, если Маша за два дня прочитала 36 страниц?

  • 12
  • 4
  • 12
  • 36 стр.
  • 4
  • 5
  • 12
  • 12
  • 5
  • 4
  • 9
  • 1) + = (книги) – прочитала Маша за 2 дня.
  • 12
  • 12
  • 12
  • 2) 36 : 9 ∙ 12 = 48 (стр.)
  • Ответ: В книге 48 страниц.

Источник:

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

  • Например, как решить дробное уравнение:x/5+4=9Умножаем обе части на 5. Получаем:х+20=45
  • x=45-20=25
  • Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
  • b/x + c = d
  • Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
  • Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
  • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
  • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

  1. Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
  2. 1 + 2x = 5х
  3. И решаем обычное уравнение
  4. 5x – 2х = 1
    3x = 1
  5. х = 1/3
  6. Ответ: х = 1/3
  7. Решим уравнение посложнее:

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую – на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

  • Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
  • 4 = х + 2
  • х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
  • Ответ: х = 2.
  • Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями

Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. урок. Алгебра 8 Класс

Как решать простые дробные уравнения. Уравнения с дробями правила решения

На этом уроке мы потренируемся решать квадратные и дробно-рациональные уравнения, отработаем различные методы их решения.

Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения.

Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда.

На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся свойством степеней  и перепишем уравнение в виде:

Обратим внимание, что неизвестная величина  присутствует в уравнении только в составе «конструкции» . В таком случае применяют метод замены переменной.

Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:

Заменяя  на , получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.

Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Имеем следующее квадратное уравнение:

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения:

Тогда:

Найдем корни квадратного уравнения:

Ответ: .

Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:

Решаем уравнение, получаем корни:

Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернемся к замене:

Тогда:

Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение  имеет два решения:

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: .

В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только -я и -я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:

Теперь перейдем к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».

При решении дробно-рациональных уравнений важно:

  1. в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;
  2. после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.

Задание 2.Решить уравнение:

Решение.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ:

Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:

Получили линейное уравнение, решением которого является . Это решение входит в ОДЗ, ведь .

Ответ: .

Задание 3.Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на . Мы это можем сделать, поскольку , тогда:

Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в одну сторону, приведем подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:

Найдем корни этого уравнения:

Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому  не является решением уравнения.

Ответ: .

Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим каждое из этих неравенств:

Можем объединить эти неравенства в одно:

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:

Приведем все дроби к общему знаменателю :

Тогда:

Дробь равна , если ее числитель равен :

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения:

Корень  не входит в ОДЗ.

Ответ:

Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями.

Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

Задание 5. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим эти неравенства:

Обратим внимание, что неизвестная  присутствует в уравнении в похожих конструкциях , которые являются взимнообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:

Тогда:

Исходное уравнение будет иметь вид:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на , при этом , поскольку :

Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:

Вернемся к замене:

Решаем первое уравнение:

Решаем второе уравнение:

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:.

Задание 6. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

В подобных уравнениях стандартной является замена:

Чтобы выразить  через , произведем следующие действия:

После замены исходное уравнение будет иметь вид:

Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Вернемся к замене:

Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на  и получить квадратные уравнения:

Первое уравнение имеет решения:

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: .

Теперь перейдем к решению иррациональных уравнений. Так называются уравнения, которые содержат операцию извлечения корня из переменной.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение.

Как мы знаем, выражение  имеет смысл только для значения . Поэтому ОДЗ для данного уравнения будет следующей:

Чтобы привести иррациональное уравнение к линейному или квадратному, нужно избавиться от иррациональности. В данном случае – избавиться от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством корня:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Получили линейное уравнение, корнем которого является:

Полученное значение входит в ОДЗ:

При решении уравнения мы возвели обе части уравнения в квадрат, при этом могли возникнуть посторонние корни, т. е. те, которые не являются решением исходного уравнения.

Посторонние корни

Операция возведения в квадрат обеих частей равенства не является равносильным преобразованием. При применении этой операции можно получить из неправильного равенства правильное. Например, равенство  очевидно неправильное. Но при возведении в квадрат получим правильное:

При этом из правильного равенства мы не получим неправильное, ведь если числа равны, то их квадраты также равны.

Поэтому любой корень исходного уравнения является корнем уравнения, полученного после возведения в квадрат обеих частей. Но не все корни полученного уравнения являются корнями исходного. Могут возникнуть посторонние корни.

Чтобы исключить их, проще всего выполнить проверку, подставив полученные значения в исходное уравнение.

Выполним проверку. Подставим полученный корень в исходное уравнение:

Мы получили правильное равенство, значит,  является решением уравнения.

Ответ: .

Задание 8. Решить уравнение:

Решение.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому ОДЗ будет следующей:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

После преобразования получим квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Проверим, входят ли корни в ОДЗ.

:

Неравенство неверное, значит, корень  не входит в ОДЗ и не является решением исходного уравнения.

:

Корень входит в ОДЗ.

Теперь выполним проверку, подставив  в исходное уравнение:

Получили правильное равенство, следовательно, исходное уравнение имеет один корень .

Ответ:.

Заключение

Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми приемами, которые позволяют свести уравнения высших порядков, дробно-рациональные и иррациональные уравнения к квадратным и линейным уравнениям.

Список литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Решить биквадратное уравнение:

2. Решить дробно-рациональное уравнение:

3. Решить иррациональное уравнение:

Действия с дробями 7 класс, повторение, сравнение, сокращение, решение уравнений

Как решать простые дробные уравнения. Уравнения с дробями правила решения

В начале первой четверти семиклассники на уроках математики активно повторяют все действия, как с обыкновенными, так и с десятичными дробями. И делают они это не просто так.

В 7 классе по программе обучения начинается алгебра. Дроби будут состоять уже из алгебраических выражений, многочленов. Все действия с такими уже дробями основываются на умении решать обыкновенные дроби в пятом шестом классе.

Дроби повторение 7 класс

Повторение начинается с самых простых примеров на все арифметические действия с обыкновенными дробями. Не забываем, что там где знаменатели разные следует найти общий, и только потом выполнять действия.

Сравнение дробей 7 класс

Для того, чтобы научиться сравнивать дроби, нужно узнать несколько способов по их сравнению, и выбрать для себя более понятный и удобный.

Основные правила сравнения дробей:

В первом правиле мы сравниваем только числители, так как знаменатели равны. Мы уже говорили, что знамен.-это общее количество долей, а числитель показывает сколько их взято из общего, следовательно, чем больше долей взято, тем и дробь соответственно больше.

При одинаковых числ-х сравнивают только знамен. Чем он меньше, тем больше дробь. Разберемся, почему так. К примеру разделите 10 на 5 и 10 на 2, очевидно, что второе частное больше первого. Поэтому, если сравнить 10/5 и 10/2, то 10/2 будет больше.

В десятичных дробях мы сравниваем их соответствующие целые части и дробные. Если первые равны, то мы сравниваем десятые, сотые и т.д. Поэтому для сравнения мы должны уравнивать количество дес.знаков.

Также можно сравнить две обыкн.дроби используя число, которое находится в ряду между ними. Какая из дробей окажется больше этого числа, та и будет большей в примере.

Вот несколько интересных способов, как можно сравнить дроби:

Если от вас требуется сравнить десятичную и обыкновенную дроби, можно перевести одну из них в более удобную для вас. И сравнивать вы уже будите либо обыкновенные, либо десятичные.

Еще один хороший способ, дополнить до единицы. Чем больше нужно добавить дроби, чтобы получить целое, тем она будет меньше.

Можно использовать и перекрестное правило,  как в пропорции. Для этого умножаем смотрящие друг на друга числители и знаменатели.

Правила дробей 7 класс

Начиная изучать рациональные дроби в седьмом классе, стоит познакомиться с рядом правил, которым подчиняются действия с ними.

К рациональным дробям применяются те же правила, что и к обыкн-м.

Для выполнения всех арифметических действий, следует знать несколько формул сокращенного умножения:

Эти формулы понадобятся на уроках математики до 11 класса, поэтому их лучше выучить сразу в седьмом.

Действия с дробями 7 класс

Как в пятом и шестом, так же и в седьмом классе, дроби в основном складывают, вычитают, умножают и делят. Есть еще сокращение и сравнение. Рациональные дроби также называют алгебраическими.

Сложение и вычитание.

К примеру, b/3 + c/3. Это сумма рациональных или алгебраических дробей. Решением будет: b+c/3.

Еще пара примеров.

Умножение и деление.

Так же как и с обыкновенными дробями, умножать будем числитель на числитель, и знам. на знаменатель. Очень важно обратить внимание на то, что вы умножаете многочлены, поэтому каждый числитель и знаменатель лучше взять в скобки. Так вы сможете избежать ненужных ошибок.

И деление выполняется в точности также как и в обык.дробях. Первую дробь оставьте на месте без изменений, поменяйте частное на умножение, вторую дробь переверните.

Сложение и вычитание дробей 7 класс

Никогда не начинайте выполнять действия не упростив выражения. Выполните все возможные преобразования и пример решится намного легче и быстрее. Также числители второй и последующих дробей при сложении и вычитании стоит взять в скобки. Очень часто возникают ошибки только из-за одного неправильно поставленного знака. Будьте внимательны.

Если перед скобкой стоит , раскрываем ее, не меняя знаки внутри. Если >, то все меняем на противоположные.

Пример.

Знаменатели совершенно одинаковые, находим сумму числ. Приведите подобные, это с и 2с, d и -d, которые в свою очередь взаимно уничтожаются, так как имеют разные знаки. В итоге остается с+2с = 3с. Ответ: 3с/2а.

Все намного проще, если знам. одинаковые. С разными нужно немного подумать.

Пример.

В примере два знам. 15а и 3. Нам нужно найти общий. В этом случае проще домножить 3 так, чтобы получить 15а. Для этого 3 умножаем на 5а. Но чтобы действие было верным, применяем основное свойство дроби, и на 5а умножим еще и числитель. Далее складываем дроби с один.знам.

Деление и умножение дробей 7 класс

Разберем сразу примеры, так как правила уже обговорены выше.

В примере выше требуется разделить алгебраические дроби, содержащие выражения со степенью. Здесь важно вспомнить, что при сокращении степеней мы вычитаем из большей степени меньшую.

Первую дробь мы оставили без изменений, вторую перевернули, заменив действие на умножение. Теперь ищем, что можно сократить. Сначала смотри на числовые коэффициенты. Сокращаем 7 и 35, 9 и 18. Затем сокращаем буквенную часть.

Для удобства возьмите каждый многочлен в скобки. Мы видим, что сразу можно сократить скобку (7-х). Многие допускают ошибку, считая что (a-b)  и (a+b) сократимы, это большая ошибка. Ведь к примеру, 5-2 и 5+2 совершенно разные выражения.

Конечные десятичные дроби 7 класс

Десятичные дроби отличаются друг от друга по количеству знаков (цифр) после запятой. Соответственно своему названию, у конечной десятичной дроби после запятой, конечное число знаков: 5, 0235; 2,3654; 0,12 и т.д.

Любую такую дробь можно перевести обратно в обыкновенную. 2,36 = 2 целых 36/100. Но не каждую обыкновенную можно представить в виде конечной дес.дроби. В таком случае уже получается бесконечная дес.дробь.

Уравнения с дробями 7 класс на примерах с пояснением

Уравнения с дробями можно решить используя пропорцию, или светси решение к этому. Первое уравнение и ему подобные очень просто и быстро решается пропорцией. Используем умножение .

Бывают и более сложные уравнения, которые нужно преобразовать.

Здесь уже нужно вспомнить правило умножения скобки на число или раскрытие скобок. На число перед скобкой умножаем каждое слагаемое в скобке. Значит 7 умножим и на 2, и на (-х). Далее решаем как обычное линейное уравнение.

В следующем уравнении разберем два способа решения.

Первый вариант решения основывается на избавлении от знаменателей, дабы превратить дробное уравнение в линейное. Для этого умножаем каждое слагаемое на общий для дробей знаменатель. В нашем случае 45.

Сокращаем и получаем линейное уравнение. Раскрываем в нем скобки, находим подобные слагаемые.

Вторым вариантом будет приведение к общему знаменателю в правой части, и сведению решения к пропорции.

Сокращение дробей 7 класс

При сокращении рациональных дробей используем правило сокращения обык.др. Числитель и знаменатель делим на один многочлен.

Запомните, что разные буквенные части мы не сокращаем, только одинаковые.

Дроби, в числ. и знамен. которых стоит выражение (многочлен) тоже сократимы. В таких дробях можно сокращать только одинаковые многочлены. Многочлены разделены между собой умножением.

Также можно использовать формулы сокращ. умножения.

Еще пара примеров:

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.